2018-09-03

数据描述性分析-多元数据的数据特征与相关分析

之前我们的样本数据基本上是来自一元总体,而在实际情况中，许多数据来自多元数据的总体。那么对于多元总体的数据，除了分析各个分量的取值特点外，更重要的是分析各个分量之间的相关关系，这就是多元数据的相关分析。

1 二元数据的数字特征及相关系数

设\((X,Y)'\)是二元总体，从中取得观测样本\((x_1,y_1)',(x_2,y_2)',...(x_n,y_n)'\),为了直观表示，我们写出观测矩阵： \[\begin{bmatrix}x_1&x_2&...&x_n\\y_1&y_2&...&y_n\end{bmatrix}\] 记\[\bar{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_i\] \[ \bar{y}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^ny_i\] 称\((\bar x,\bar y)'\)为二元观测样本的均值向量。

记变量\(X\)的观测样本的方差为\(s_{xx}\) \[s_{xx}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2\]

记变量\(Y\)的观测样本的方差为\(s_{yy}\) \[s_{yy}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(y_i-\bar{y})^2\]

记变量\(X\)与\(Y\)的观测样本的协方差为\(s_{xy}\) \[s_{xy}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\]

则观测样本的协方差矩阵为\[S=\begin{bmatrix}s_{xx}&s_{xy}\\s_{xy}&s_{yy}\end{bmatrix}\] 观测样本的相关系数为\[r=\frac{s_{xy}}{\sqrt{s_{xx}}\sqrt{s_{yy}}}\]

在R语言中，用cov()函数计算协方差阵，用cor()函数计算相关矩阵。例如

data<-data.frame(
      a=c(67,54,72,64,38,22,58,43,46,34),
      b=c(24,14,23,15,16,18,29,20,16,17)
)#采用数据框的结构输入数据
data.s<-cov(data) # 求样本数据的协方差阵
data.r<-cor(data) # 求样本数据的相关矩阵
data.s

##           a        b
## a 255.28889 30.93333
## b  30.93333 22.84444

data.r

##          a        b
## a 1.000000 0.405061
## b 0.405061 1.000000

2 多元数据的数字特征及相关系数

设\((X_1，X_2，...X_p)'\)是\(p\)元总体，从中取得观测样本\[(x_{11},x_{12},...x_{1p})',(x_{21},x_{22},...x_{2p})',...(x_{n1},x_{n2},...x_{np})'\] 样本的第j个分量的均值为\[\bar{x_j}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nx_{ij}\] 样本的第j个分量的方差为\[s_j^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_{ij}-\bar{x_j})^2\] 样本的第j个分量与第k个分量的协方差为\[s_{jk}=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_{ij}-\bar{x_j})(x_{ik}-\bar{x_k})\]则样本的第j个分量与第k个分量的相关系数为\[r_{jk}=\frac{s_{jk}}{\sqrt{s_{jj}}\sqrt{s_{kk}}}\] 称\[R= \left[ \begin{matrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1p} \\ r_{21} & r_{22]} & \cdots & r_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_{p1} & r_{p2} & \cdots & r_{pp} \\ \end{matrix} \right] \]

为样本的相关阵，协方差阵可以类似写出。

在R语言中，仍用cov()函数和cor()函数计算样本的协方差阵与相关矩阵，所以，在此不再赘述。

3 参考文献

[1]薛毅. 统计建模与R软件[M]. 清华大学出版社, 2007.

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